선형대수(HYU)_07 벡터의 선형독립과 기저벡터

2.3 Linear Independence, Basis, and Dimension

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Linear Independence or Dependence

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$ c_1v_1 + c_2v_2 + \cdots + c_nv_n = 0 $을 만족시키는 경우가 $ c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0 $밖에 없을 때 (trivial combination), vectors $ v_1, v_2, \cdots, v_n $은 linearly independent하다. vector $v_k$를 다른 vectors들로 표현할 수 없다.

 

반대로 nonzero인 $c$가 존재하는 경우 $v$들은 linearly dependent하다.

 

ex 1) $v_1 = zero\ vector$이면 (백터집합중에 zero vector가 존재하면) 해당 벡터집합은 linearly dependent하다.

ex 2) Triangular matrix의 column들은 linearly independent하다

$$ A =
\begin{bmatrix}
3 & 4 & 2 \\
0 & 1 & 5 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix}
$$

• 행렬 A의 Gaussian Elimination의 결과로 생긴 nonzero row는 linearly independent하다.
• nonzero pivots를 갖는 columns는 linearly independent 하다.

$$ U =
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$

• $R^m$ 안에 벡터n개로 이루어진 집합이 있을 때 n > m이면 linearly dependent하다.

Spanning a Subspace

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벡터집합 $ v_1, v_2, \cdots, v_n $의 모든 linear combination이 vector space $V$를 이룰 때 벡터집합 $ v_1, v_2, \cdots, v_n $이 $V$로 span한다고 한다.

 

ex 3) Vectors $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}와 \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$은 x-y 평면 (in $R^3$)으로 span한다.

ex 4) Vectors $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}와 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$은 x-y 평면 (in $R^3$)으로 span한다.

 

• 특정 vector space로 span 할 수 있는 vector의 조합은 다양하다.
• 특정 vector space로 span하기 위한 특정 linearly independent vectors의 linear combination은 unique하다.
• 즉, ex 3), ex 4) 모두 x-y 평면으로 span하지만 ex 1), ex 2) 각각이 x-y 평면으로 span하기 위한 linear combination은 unique하다.

Basis for a Vector Space

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Basis는 vector space $V$로 span할 수 있는 최소 개수의 linearly independent vectors를 말한다.

 

Vector space $V$의 basis는 아래 두개의 성질을 동시에 만족시켜야 한다.

1. Vectors가 linearly independent 해야한다.
2. Vertors는 space $V$로 span해야 한다.

• 위의 ex 3), ex 4)는 모두 x-y평면의 basis이다.
• 특정 Vector space $V$의 basis는 unique하지 않다. (Infinitely many)

Dimension of a Vector Space

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Vector space의 $V$의 basis vectors의 개수는 같으며 이를 $V$의 dimension이라고 한다.

$$ U =
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \quad Two-dimensional\ subspace\ of\ R^3
$$

 

• basis에 비해 너무 크거나 너무 작은 벡터집합을 이용해서 basis를 만들 수 있다.
• Vector space $V$ 안의 임의의 linearly independent set에 다른 vectors를 더하면 basis로 확장시킬 수 있다.
• Vector space $V$ 안의 임의의 spanning set의 불필요한 vectors를 없애면 basis로 축소시킬 수 있다.