공부를 합니다/수학 (mathematics) (13) 썸네일형 리스트형 선형대수(HYU)_22 복소행렬과 에르미트행렬 5.5 Complex Matrix space $C^n$: $n$개의 complex components로 이루어진 vector space Addition과 multiplication은 real space와 동일하게 한다. Length는 real space와 다른 방법으로 구해야한다. 예를 들어 $C^2$의 vector $(1,i)$의 length를 구할 때, 기존의 방법으로는 length가 $1^2 + i^2 = 0$ 이 되지만 실제 길이의 제곱은 $1^2 + \lvert i \lvert ^2 = 2$ 이다. 즉 length를 계산하는 방법이 다음과 같이 바뀐다. $$ \lVert x \lVert ^2 = \lvert x_1 \lvert^2 + \cdots + \lvert x_n \lvert ^2 $$ C.. 선형대수(HYU)_21 연립미분방정식과 행렬 5.4 Differential Equations and $e^{At}$ Difference equation, $u_k = A^ku_0$의 solution이 $A$에 depend 했다면 Differential equation, $u(t)=e^{At}u(0)$는 $A$의 exponential에 depend 하다. $$ \text{Differential equation} \qquad {du\over dt} = Au \\ \text{solution} \qquad u(t) = u(0)e^{At} $$ Breef introduction to differential equation $$ c_0e^{at} \quad \xrightarrow{{d/dt}} \quad c_0ae^{at} \\ y(t) \quad \xrig.. 선형대수(HYU)_19-20 차분방정식과 고유값 5.3 Difference Equations and Powers $A^k$ Differnece equation 수열의 일반항 사이의 관계식 $$ u_{k+1} = Au_k\\ u_k = A^ku_k $$ finite 한 수의 finite 한 step으로 진행되는 equation. 무한한 수의 극소 단계로 진행되는 'differential equation'과 다르다. Exmaples 등차 $$ a_{n+2} - 2a_{n+1} + a_n = 0 \\ a_n = a_1 + (n-1)d $$ 계차 $$ \begin{aligned} pa_{n+2} + qa_{n+1} + ra_n & = 0, \quad (p+q+r = 0) \\ pa_{n+2} - (p+r)a_{n+1} + ra_n & = 0 \.. 선형대수(HYU) 18_고유값과 고유벡터 및 대각화 Chapter 5. Eigenvalues and Eigenvectors 5.1 Introduction first half of linear algebra: $Ax = b$ second half: $Ax = \lambda x$ 여전히 matrix를 simplify해서 해결 matrix를 diagonal로 simplify no more row exchanges: elimination은 eigenvalue($\lambda$)를 바꾸기 때문 determinant를 이용 Fundamental equation $$Ax = \lambda x$$ number $\lambda$: matrix $A$의 eigenvalue vector $x$: matrix $A$의 eigenvector The Solution of $Ax .. 선형대수(HYU)_17 판별식의 응용 4.4 Applications of Determinants 네 개의 major determinant application 1. Computation of $A^{-1}$ Cofactor matric $C$에 대해서 A^{-1}은 cofactor matrix $C$를 $detA$로 나눈 것이다. $$ A^{-1} = {C^T \over detA}, \quad (A^{-1})_{ij} = {C_{ij} \over detA} $$ 위 식을 입증하기 위해서는 $AC^T = (detA)I$임을 보여야한다. $$ \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \\ \end{bmatrix} \begin{.. 선형대수(HYU)_16 판별식의 공식 4.3 Formulas For the Determinant 첫 번째 formular는 이미 전에 언급이 되었다. Row operation으로 $D$의 pivot을 구했을 때: $A$가 invertible하면 $PA = LDU$, $detP = \pm1$이다. $$detA = \pm\ detL\ detD\ detU = \pm \text{ (product of the pivots)}$$ $\pm$ 부호는 row exchange의 횟수에 따라 결정된다. (even or odd) Triangular factor는 $detL = detU = 1$이고 $detD = d_1 \cdots d_n$ Example $$ \begin{bmatrix} 2 & -1 & & & \\ -1 & 2 & -1 & & \\ & -1 &.. 선형대수(HYU)_15 행렬의 판별식 Chapter 4. Determinants 4.1 Introduction Four main uses of determinants: Invertibility test $A$의 determinant가 zero이면 $A$는 singular하다. $det A \ne 0$이면 $A^{-1}$이 존재한다. ($A$가 invertible) A의 determinant는 n-dimensional space 안 box의 volumne과 같다. e.g., $\int\!\!\int\!\!\int f(x,y,z)dV$의 little cube $dV = dxdydz$를 cylindrical coordinate로 바꿀 때, $$ \begin{matrix} x &=& rcos\theta \\ y &=& rsin\theta \\ z .. 선형대수(HYU)_13-14 QR 분할과 함수공간 3.4 Orthogonal Basis and Gram-Schmidt Orthogonal vectors independent 하기 때문에 basis vectors가 될 수 있다. Orthonormal Orthogonal basis vector를 각각 그 길이로 나누면 orthonormal basis가 된다. Vector $q_1, \dots, q_n$은 다음의 경우 orthonormal하다. $$ q_i^Tq_j = \begin{cases} 0 \qquad whenever i \neq j, \qquad orthogonality \\ 1 \qquad whenever i = j, \qquad normalization \end{cases} $$ Orthonormal한 column을 갖는 matrix는 $Q$로 .. 이전 1 2 다음
