선형대수(HYU)_15 행렬의 판별식

Chapter 4. Determinants

 

4.1 Introduction

Four main uses of determinants:

1. Invertibility test
   • $A$의 determinant가 zero이면 $A$는 singular하다.
   • $detA\ne 0$이면 $A^{-1}$이 존재한다. ($A$가 invertible)
2. A의 determinant는 n-dimensional space 안 box의 volumne과 같다.
   • e.g., $\int \int \int f(x,y,z)dV$의 little cube $dV=dxdydz$를 cylindrical coordinate로 바꿀 때,
     $$\begin{array}{ccc}x& =& rcos\theta \\ y& =& rsin\theta \\ z& =& z\end{array}$$
   • Volume element는 $Jdrd\theta dz$가 된다.
   • $J$는 Jacobian determinant로 stretching factor 역할을 한다.
     $$J=\left|\begin{array}{ccc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \theta }& \frac{\partial x}{\partial z}\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \theta }& \frac{\partial y}{\partial z}\\ \frac{\partial z}{\partial r}& \frac{\partial z}{\partial \theta }& \frac{\partial z}{\partial z}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}cos\theta & rsin\theta & 0\\ sin\theta & rcos\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=r\text{(for cylindrical)}$$
3. determinant $=$ $\pm$ (product of the pivots)
   • Elimination의 순서와 상관 없이 pivot의 곱의 절댓값은 일정하다.
   • Sign 변화는 row exchange 과정에서 생긴다.
4. Determinant로 $A^{-1}b$에서 $b$의 각 element의 영향($x_i$)을 측정할 수 있다. : Cramer's rule

 

4.2 Properties of the Determinant

Determinant는 가장 간단한 세 개의 특성으로 정의될 수 있다.

• 예시는 2 by 2 matrix case
  $$det\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$$

1. Identity matrix의 determinant는 1이다.

$$detI=1\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=1and\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|=1$$

2. 두 개의 row를 서로 바꾸면 determinant의 sign이 바뀐다.

$$\left|\begin{array}{cc}c& d\\ a& b\end{array}\right|=cb-ad=-\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$$

3. Determinant는 첫 번째 row에 linearly depend하다.

$$\begin{array}{cc}\text{Add vectors in row 1}& \left|\begin{array}{cc}a+a^{\prime }& b+b^{\prime }\\ c& d\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{a}^{\prime }& b^{\prime }\\ c& d\end{array}\right|\\ \text{Multiply by t in row 1}& \left|\begin{array}{cc}ta& tb\\ c& d\end{array}\right|=t\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|\end{array}$$

• 모든 row의 연산이 아니라 첫 번째 행의 연산에만 해당된다는 것에 주의해야한다.
  • $det(A+B)\ne det(A)+det(B)$
  • $det(tA)\ne tdet(A)$

 

위의 세 basic rulerty로 부터 additional한 property를 도출해낼 수 있다.

4. $A$의 row중 두 개가 같으면 $detA=0$이다. (by rule 2)

• 같은 두 개의 row를 바꾼 matrix를 $A^{\prime }$이라고 했을 때,
• Prop. 2에 의해서 $det{A}^{\prime }=-detA$, $A=A^{\prime }$이므로 $detA=det{A}^{\prime }$
• $detA=0$

5. 하나의 row에서 다른 row의 multiple을 빼더라도 determinant는 변하지 않는다. (by rule 3)

• determinant는 row operation에도 변하지 않는다.
  $$\left|\begin{array}{cc}a-lc& b-ld\\ c& d\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}-lc& -ld\\ c& d\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$$

6. $A$에 rows of zero가 있으면 $detA=0$이다.

$$detA=\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ c& d\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ c& d\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ c& d\end{array}\right|=detA+detA$$

7. $A$가 triangular matrix이면 $detA$는 diagonal entries $a_{11},a_{22},\cdots ,a_{nn}$의 곱이다.

• proof : 모든 diagonal entry가 0이 아니면 Gaussian elimination을 이용해 모든 off-diagonal element를 제거할 수 있다. 이 때 rule 5에 의해 determinant는 변하지 않는다.
• $detD=(a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn})detI=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}\text{for diagonal matrix}$ (by rule 3)

8. $A$가 singular*이면 $detA=0$이다. $A$가 *non-singular(invertible) 이면 $detA\ne 0$이다.

• $A$가 singular이면 elimination 결과 $U$에 zero row가 생긴다. $detA=detU=0$

9. $det(AB)=det(A)\cdot det(B)$

• For particular case $det{A}^{-1}=\frac{1}{detA}$
• 증명은 $d(A)=det(AB)/det(B)$를 정의한 뒤 결과가 $det(A)$와 같음을 밝히면 된다. 자세한 내용은 서적 참고

10. $det(A^T)=det(A)$

• Factorization을 하면 $PA=LDU$이다. 양 변의 determinant를 구하면 rule9에 의해 다음과 같다
  $$detPdetA=detLdetDdetU$$
• $PA=LDU$를 transposing하여 determinant를 구하면
  $$det{A}^{T}det{P}^T=det{U}^{T}det{D}^{T}det{L}^T$$
• $L,U,L^T,U^T$의 determinant는 모두 1이고, $D=D^T$이다.
• $P$의 경우 $P{P}^T=1$이므로 $detTdet{P}^T=1$로 $detP$와 $det{P}^T$는 1이나 -1로 같다.
• 결과적으로 $detA=det{A}^T$이다.