선형대수(HYU)_15 행렬의 판별식

Chapter 4. Determinants

 

4.1 Introduction

Four main uses of determinants:

1. Invertibility test
   • $A$의 determinant가 zero이면 $A$는 singular하다.
   • $det A \ne 0$이면 $A^{-1}$이 존재한다. ($A$가 invertible)
2. A의 determinant는 n-dimensional space 안 box의 volumne과 같다.
   • e.g., $\int\!\!\int\!\!\int f(x,y,z)dV$의 little cube $dV = dxdydz$를 cylindrical coordinate로 바꿀 때,
     $$
     \begin{matrix}
     x &=& rcos\theta \\
     y &=& rsin\theta \\
     z &=& z
     \end{matrix}
     $$
   • Volume element는 $Jdrd\theta dz$가 된다.
   • $J$는 Jacobian determinant로 stretching factor 역할을 한다.
     $$
     J =
     \begin{vmatrix}
     {\partial x \over \partial r} & {\partial x \over \partial\theta} & {\partial x \over \partial z} \\
     {\partial y \over \partial r} & {\partial y \over \partial\theta} & {\partial y \over \partial z} \\
     {\partial z \over \partial r} & {\partial z \over \partial\theta} & {\partial z \over \partial z} \\
     \end{vmatrix} =
     \begin{vmatrix}
     cos\theta & rsin\theta & 0 \\
     sin\theta & rcos\theta & 0 \\
     0 & 0 & 1
     \end{vmatrix}
     = r \quad\text{(for cylindrical)}
     $$
3. determinant $=$ $\pm$ (product of the pivots)
   • Elimination의 순서와 상관 없이 pivot의 곱의 절댓값은 일정하다.
   • Sign 변화는 row exchange 과정에서 생긴다.
4. Determinant로 $A^{-1}b$에서 $b$의 각 element의 영향($x_i$)을 측정할 수 있다. : Cramer's rule

 

4.2 Properties of the Determinant

Determinant는 가장 간단한 세 개의 특성으로 정의될 수 있다.

• 예시는 2 by 2 matrix case
  $$
  det
  \begin{bmatrix}
  a & b \\
  c & d
  \end{bmatrix} =
  \begin{vmatrix}
  a & b \\
  c & d
  \end{vmatrix} =
  ad- bc
  $$

1. Identity matrix의 determinant는 1이다.

$$
detI = 1 \quad
\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{vmatrix}
= 1 \qquad and \qquad
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix} = 1
$$

2. 두 개의 row를 서로 바꾸면 determinant의 sign이 바뀐다.

$$
\begin{vmatrix}
c & d \\
a & b
\end{vmatrix}
= cb-ad = -
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix}
$$

3. Determinant는 첫 번째 row에 linearly depend하다.

$$
\begin{matrix}
\text{Add vectors in row 1} \qquad &
\begin{vmatrix}
a+a' & b+b' \\
c & d
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
a' & b' \\
c & d
\end{vmatrix}
\\
\text{Multiply by t in row 1} \qquad &
\begin{vmatrix}
ta & tb \\
c & d
\end{vmatrix} = t
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix}
\end{matrix}
$$

• 모든 row의 연산이 아니라 첫 번째 행의 연산에만 해당된다는 것에 주의해야한다.
  • $det(A+B) \ne det(A)+det(B)$
  • $det(tA) \ne tdet(A)$

 

위의 세 basic rulerty로 부터 additional한 property를 도출해낼 수 있다.

4. $A$의 row중 두 개가 같으면 $detA = 0$이다. (by rule 2)

• 같은 두 개의 row를 바꾼 matrix를 $A'$이라고 했을 때,
• Prop. 2에 의해서 $det A' = -det A$, $A=A'$이므로 $detA = detA'$
• $detA=0$

5. 하나의 row에서 다른 row의 multiple을 빼더라도 determinant는 변하지 않는다. (by rule 3)

• determinant는 row operation에도 변하지 않는다.
  $$
  \begin{vmatrix}
  a - lc & b - ld \\
  c & d
  \end{vmatrix} =
  \begin{vmatrix}
  a & b \\
  c & d
  \end{vmatrix} +
  \begin{vmatrix}
  -lc & -ld \\
  c & d
  \end{vmatrix} =
  \begin{vmatrix}
  a & b \\
  c & d
  \end{vmatrix}
  $$

6. $A$에 rows of zero가 있으면 $detA=0$이다.

$$
detA =
\begin{vmatrix}
0 & 0 \\
c & d
\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
0 & 0 \\
c & d
\end{vmatrix} +
\begin{vmatrix}
0 & 0 \\
c & d
\end{vmatrix} =
det A + det A
$$

7. $A$가 triangular matrix이면 $detA$는 diagonal entries $a_{11}, a_{22}, \cdots, a_{nn}$의 곱이다.

• proof : 모든 diagonal entry가 0이 아니면 Gaussian elimination을 이용해 모든 off-diagonal element를 제거할 수 있다. 이 때 rule 5에 의해 determinant는 변하지 않는다.
• $detD = (a_{11}a_{22} \cdots a_{nn}) detI = a_{11}a_{22} \cdots a_{nn} \quad \text{for diagonal matrix}$ (by rule 3)

8. $A$가 singular*이면 $detA = 0$이다. $A$가 *non-singular(invertible) 이면 $detA \ne 0$이다.

• $A$가 singular이면 elimination 결과 $U$에 zero row가 생긴다. $detA = detU = 0$

9. $det(AB) = det(A) \cdot det(B)$

• For particular case $detA^{-1} = {1 \over detA}$
• 증명은 $d(A) = det(AB) / det(B)$를 정의한 뒤 결과가 $det(A)$와 같음을 밝히면 된다. 자세한 내용은 서적 참고

10. $det(A^T) = det(A)$

• Factorization을 하면 $PA=LDU$이다. 양 변의 determinant를 구하면 rule9에 의해 다음과 같다
  $$ detPdetA = detLdetDdetU $$
• $PA = LDU$를 transposing하여 determinant를 구하면
  $$ detA^TdetP^T = detU^TdetD^TdetL^T $$
• $L, U, L^T, U^T$의 determinant는 모두 1이고, $D=D^T$이다.
• $P$의 경우 $PP^T=1$이므로 $detTdetP^T = 1$로 $detP$와 $detP^T$는 1이나 -1로 같다.
• 결과적으로 $detA = detA^T$이다.