선형대수(HYU)_17 판별식의 응용

4.4 Applications of Determinants

네 개의 major determinant application

1. Computation of $A^{-1}$

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Cofactor matric $C$에 대해서 A^{-1}은 cofactor matrix $C$를 $detA$로 나눈 것이다.

$$
A^{-1} = {C^T \over detA}, \quad (A^{-1})_{ij} = {C_{ij} \over detA}
$$

 

위 식을 입증하기 위해서는 $AC^T = (detA)I$임을 보여야한다.

$$
\begin{bmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
C_{11} & \cdots & C_{1n} \\
\vdots & & \vdots \\
C_{n1} & \cdots & C_{nn} \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
detA & \cdots & 0 \\
\vdots & & \vdots \\
0 & \cdots & detA \\
\end{bmatrix}
$$

Diagonal entries

• 첫 columnn의 $C_{11}, \dots, C_{1n}$은 $a_{11}, \dots, a_{1n}$과 곱해져서 diagonal 에 $detA$를 만든다.
• 이와 같이 $A$의 모든 row는 그에 맞는 cofactors와 곱해 diagonal에 $detA$를 만든다.

off-diagonal entries

• off-diagonal의 경우 모두 모두 0이다.
• 예를들어 첫 번째 row의 $a_{1j}$ entry와 두 번째 row의 $C_{2j}$를 곱하면

$$
a_{11}C_{21} + a_{12}C_{22} + \cdots + a_{1n}C_{2n} = 0
$$

• 이는 $A$와 같으면서 second row만 $A$의 first row와 같은, 새로운 matrix $B$ 의 determinant를 구하는 것으로 볼 수 있는데, 그러면 matrix $B$는 동일한 두 row를 갖게 되므로 determinant 값이 0이 된다.
  • $C_{21}$과 곱하는 $a$는 두 번쨰 row의 첫 번째 성분인데 그 값이 $a_{11}$이기 때문에 $a_{21}$과 $a_{11}$이 같다.

$$
a_{11}C_{21} + a_{12}C_{22} + \cdots + a_{1n}C_{2n} =
\begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn} \\
\end{vmatrix} = 0
$$

 

2. The Solution of $Ax=b$

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Cramer's rule

• $x = A^{-1}b$의 $j$번째 componenent는 $detB_j$와 $detA$의 비와 같다.

$$
x_j = {detB_j \over detA}, \quad where \quad B_j =
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & b_1 & a_{1n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
a_{11} & a_{12} & b_1 & a_{1n}
\end{bmatrix}
\text{ has } b \text{ in column } j
$$

• $detB_j$를 $j$번째 column (= $b$)에 해당하는 cofactor로 expand 하면

$$
detB_j = b_1C_{1j} + b_2C_{2j} + \cdots + b_nC_{nj}
$$

• $detB_j$는 product $C^Tb$의 j번째 component와 같고
• 이를 $detA$로 나누면 $x_j$를 얻을 수 있다.
• 즉 $x$의 componenet는 두 determinant($detA$, $detB_j$)의 비율과 같다.

$$
x = A^{-1}b = {C^Tb \over detA} =
{1 \over detA}
\begin{bmatrix}
C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\
C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{bmatrix}
$$

 

3. The Volumnet of a Box

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Right angled box

• box의 edge length의 product가 box의 volume이다.
• $\text{volume} = l_1 l_2 \cdots l_n$

 

matrix A의 row가 box의 edge일 때,

$$
A =
\begin{bmatrix}
& & \\
a_1 & a_2 & \cdots \\
& &
\end{bmatrix}, \qquad
\vert a_1 \vert = l_1, \quad \vert a_2 \vert = l_2, \quad \cdots, \qquad
a_i \perp a_j \\
$$

$detA$로 부터 $l_1l_2 \cdots l_n$을 구하려면
$$
AA^T =
\begin{bmatrix}
row\ 1 \\
row\ 2 \\
\vdots \\
row\ n
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
r & & r \\
o & & o \\
w & \cdots & w \\
& & \\
1 & & n
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
l_1^2 & & 0 \\
& & \\
& \ddots & \\
& & \\
0 & & l_n^2
\end{bmatrix}
$$

$$
\text{Rightangle case} \qquad l_1^2 l_2^2 \cdots l_n^2 = det(AA^T) = (detA)(detA^T) = (detA)^2
$$

• 위 식의 양변에 square root를 취하면 A의 determinant는 volumne과 같다.
• $detA = l_1 l_2 \cdots l_n$ for right angled box

 

Parallelogram

right angled가 아닌 box, 대표적으로 parallelogram의 volumne은 base $l$과 height $h$를 곱한 값이다.

• 길이가 $h$인 vector $b-p$는 matrix의 두 번째 row $b$에서 이를 첫 번째 row에 projection한 $p$를 뺀 것이다.
• determinant는 row 2에서 상수배한 row 1을 빼도 변하지 않으므로, 위와 같은 방식으로 parallelogram을 rectangle case로 바꾼 뒤 determinant 값을 구해 volumne을 알 수 있다.
• n dimension으로 확장하더라도 Gram-Schmidt process를 이용해 orthogonal row로 구성된 right angled case로 바꿀 수 있다.