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determinant

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선형대수(HYU)_17 판별식의 응용 4.4 Applications of Determinants 네 개의 major determinant application 1. Computation of

A^{- 1}

Cofactor matric

C

에 대해서 A^{-1}은 cofactor matrix

C

d e t A

로 나눈 것이다.

A^{- 1} = \frac{C^{T}}{d e t A}, (A^{- 1})_{i j} = \frac{C_{i j}}{d e t A}

위 식을 입증하기 위해서는

A C^{T} = (d e t A) I

임을 보여야한다. $$

[\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix}]

선형대수(HYU)_16 판별식의 공식 4.3 Formulas For the Determinant 첫 번째 formular는 이미 전에 언급이 되었다. Row operation으로

D

의 pivot을 구했을 때:

A

가 invertible하면

P A = L D U

d e t P = \pm 1

d e t A = \pm d e t L d e t D d e t U = \pm (product of the pivots)

\pm

부호는 row exchange의 횟수에 따라 결정된다. (even or odd) Triangular factor는

d e t L = d e t U = 1

d e t D = d_{1} \dots d_{n}

Example $$ \begin{bmatrix} 2 & -1 & & & \ -1 & 2 & -1 & & \ & -1 &..

선형대수(HYU)_15 행렬의 판별식 Chapter 4. Determinants 4.1 Introduction Four main uses of determinants: Invertibility test

A

의 determinant가 zero이면

A

는 singular하다.

d e t A \neq 0

A^{- 1}

이 존재한다. (

A

가 invertible) A의 determinant는 n-dimensional space 안 box의 volumne과 같다. e.g.,

\int \int \int f (x, y, z) d V

의 little cube

d V = d x d y d z

를 cylindrical coordinate로 바꿀 때, $$ \begin{matrix} x &=& rcos\theta \ y &=& rsin\theta \ z ..

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